自动化都在干什么(2)

即便我身处果壳之中，仍自以为是无限宇宙之王
I could be bounded in a nutshell, and count myself a king of infinite space

——哈姆雷特 第二场

身为学渣怎么会看过哈姆雷特，上面这句话当然是从维基百科上抄下来的（诶嘿~）而且还没有抄完整……咳咳，扯回来，相传金庸……啊不对，霍金的《果壳中的宇宙》书名就来源于此。作为身残志坚……啊呸，身体没怎么残，不过志向也没怎么坚……的堂堂大自动化系的大好青年，深刻觉得咱也在做着一样的事情，在小小的果壳里捣鼓闹腾，却还能折腾出一股王者风范。

我们继续说说自动化都在干什么。

你这是坑爹呐！！！！（╯‵□′）╯︵┴─┴
老子学了这么些年，你就告诉我老子在一个比果壳还小的圈子里瞎折腾？！！
说好的自动化拯救世界呢？！！！！
说好的造高达呢？！！！！

教授们：呵呵……

呀咧呀咧~这真是一个问题啊，为什么咱大洗衣机系整天研究个线性的东西呢？明明世界大部分是非线性的，我们还学死学活地折腾传递函数啊，超前滞后校正啊什么的，这些可都是在线性模型的前提下才能说的啊！本学渣总觉得心里不踏实。就好比我们课堂上只讲怎么打史莱姆结果到现实里一看卧槽满眼的魔王飞龙……导演这剧本不对啊！于是乎我想了又想想了又想，一学期课上都在想，考试的时候也在想……果不其然考的一塌糊涂——所以身为学渣，问题想不通就别想了。

如果走进教材店，随便找一本讲控制原理的书来，一般来说，课本上第一个例子都是什么水槽灌水啊，电容充电啊，电机转动啊之类的，没见过跷跷板吧？一上来就写跷跷板的那一定当年控制理论没学好（比如本学渣我）。为啥呢？因为……跷跷板的方程列出来我们不知道怎么弄啊！他是个非线性的方程啊！解都不会解还控制个P！水槽灌水电容充电电机转动啥的，甚至像我们课本上那个看起来超级唬人的「火炮随动系统」，又是运算放大器又是测速电机的，模块连的眼花缭乱，其实那都是纸老虎，列个方程一下就现原形了——全都是线性的（线性常微分方程）

（↑↑这就是「看起来很厉害的样子」的火炮随动系统↑↑）

（↑↑这就是「看起来很厉害的样子」的火炮随动系统的方程↑↑）

线性系统好啊！大家喜闻乐见啊！于是纷纷表示让我来分分钟搞定给你看，什么特征根什么模态，一时间其乐融融……当然「非线性系统我们不会解」这种搬不上台面的事情都是不会说出来的。不过这也没啥，你看三体人这么牛逼的黑科技不也拿他们行星的轨道没办法嘛，这不是依靠主观能动性可以解决的。

说到三体问题，哎，谁都搞不定吧，但二体问题可是从牛爵爷那时起就弄得清清楚楚啊，于是天文学家们就研究「限制性三体问题」，把三体问题往二体问题上靠（其实吧，也没啥正统天文学家在搞还是一帮数学家在折腾比如超级大牛庞加莱同学）哎~这就可以把研究二体问题时候的一些经验套路用上了[2]（其实也不全是老套路，小庞同学还是发明了一些新的方法，比如提升逼格好工具「相图」（是 Phase portrait，不是物理/化学里面的 Phase diagram），不过作为学渣我是用不太来的）

咳咳……扯远了……

所以我们只研究我们可以搞定的东西——基本上就是【线性】【时不变】【常】微分方程，连跷跷板这种东西都是高级进阶水平了╮(╯_╰)╭……真要碰上了怎么办？那一定会想办法把他转化成线性的问题（就像上面把三体问题往二体问题上靠），然后去解决「线性化」之后的那个冒牌货。

线性有啥好处呢？

首先呢，线性的方程可以求解，而且可以很快求解。当然不是说非线性的方程全部都解不出来，只不过我们能求解的非线性方程少得可怜，而且还没什么通用的方法，往往费力半天好不容易解出来了，也一眼看不出来到底稳不稳定。而线性系统呢，一眼就看出来，稳定就是稳定，不稳定就是不稳定。

第二呢，线性方程的解，性质比较「好」。不过这个「好」要说开去那就没边了，什么柯西、皮亚诺、庞加莱……等等如雷贯耳（以及期末大魔王的根源）的大名就吓得本学渣腿软了，更别提什么稳定性分析啊，什么光滑流形啊，什么稠密周期轨道啊……哎呀呀太可怕。总之，这个好呢，有时候指的是【无论我初始状态怎么样，都能回到稳定】，有时候指的是【初始状态差别不大的同一个系统，随着时间演化，他们状态一直差别不大】，等等。所以如果一个线性系统解出来是稳定的，那我们就放心了，不管条件怎么变化总是差不离的；相反如果是非线性系统我们费了九牛二虎之力把他整稳定了，那么实际用起来也不是那么放心，有可能条件变化了一点点，输出就面目全非了。

第三呢，线性方程的性质比较容易搞清楚。每个参数有一点变化，对结果有什么影响，这些都是可以计算的。所谓一切尽在掌握，就是这样。系统反应慢？那增加点比例系数有效果！系统震荡不停？那减小点比例系数！不行还有微分环节和积分环节！要是非线性系统，那就不知道了。碰巧了系统稳定，碰不巧那就直接暴走了。

口说无凭，要来点生动有趣的例子才行啊！这么白纸黑字写下来估计我自己也懒得看第二遍（卧槽我好像发现本学渣当年自控课没学好的原因了！没图你说个贾斯汀比伯啊！）看来不得不祭出庞加莱同学的大杀器「相图」了。还记得上回那个跷跷板吧？

这是个非线性的系统。上回我不是随手配置了个 PD 比例微分的控制器让他稳定下来了么？（闭环的方程懒得写了……(oﾟωﾟo)）但是这个稳定是真稳定吗？初始条件变一变他还能稳定吗？比如开始我用手推他一下给他个角速度……什么什么的？

来，上图说话！

哗~~~~相图！！！瞬间高大上了有木有！格调一下子上升好几个档次有木有！看不懂没关系，有不明觉厉的赶脚就对了~上面横坐标是角度纵坐标是角速度，所以图上每一个点就代表了系统的一个状态。随着时间流逝，系统状态就沿着图中的小箭头演化。

图中红色的那条线就是上回我们假设的情况，初始状态角度等于 Pi / 6，角速度为 0，最后回到了原点（角度为 0 角速度为 0，也就是跷跷板停在了水平位置）。而且可以看到，在原点附近比较大的一块范围内，无论我初始条件怎么样，最后系统状态都会回到原点（跷跷板停在水平位置）——这里原点就是一个「吸引子」（Attractor），这也代表我们控制是成功的，系统处在平衡位置的状态是稳定的。

但是情况并不总是这样啊，离原点稍远的点，比如上面 ABC 三个点呢？只有 A 点在一段时间后能够回到原点，B 和 C 两点是回不来了，要么像 B 点出发的那条绿线，这个跷跷板会一直朝一个方向转下去（喂！这还叫跷跷板吗！）要么像 C 点出发的那条紫色线，跷跷板会大幅度的来回震荡。你看虽然 ABC 三个点在刚开始的时候靠在一起，但是一段时间之后就分道扬镳再也不相见了，系统的状态完全不一样。

这就是非线性系统，即使我加上控制器使得他在一定范围内能够稳定工作了，但也不代表他一直能稳定，甚至，即使从相近的初始状态出发，后面系统的运行状态也会大相径庭（这是出现混沌的必要条件而非充分条件，但这不是混沌。上一篇日志里回避了这个问题，跷跷板这个系统实际上并不存在混沌，在一维和二维连续系统里是不存在混沌现象的，庞加莱同学最早提出这一点，参见[3]庞加莱－本迪克松定理……小庞同学，怎么又是你？）。

那么如果是线性系统呢？我们对这个跷跷板做一下「真空球形鸡」化简，在平衡位置附近，cosθ≈1，我们略去这一项，再代入反馈控制，继续忽略交叉项和高次项（霍金说多一个公式就少一半读者，所以这个真空球形跷跷板的闭环方程我就不写了，反正上面也没写嘛，写了开环的意思意思够了╮(╯▽╰)╭），我们就可以画出「真空球形跷跷板」的相图了：

是不是很酷炫？你看整个相空间的点毫无例外都被吸引到原点啦~~妈妈再也不用担心跷跷板不稳定啦（←_←明明是真空球形跷跷板好不好，和真的跷跷板差远了……）所以线性系统如果某一个解是稳定的那就可以放心睡大觉了~

好啦，我们知道线性系统有好多好处，不过，咱自动控制理论大部分情况只研究线性模型，研究的对象只不过是世界的一小部分的一小部分的一小部分而已，为什么在很多很多地方都能用呢？蛟龙入海玉兔奔月，这些怎么想都不全是线性系统吧，怎么控制的？打史莱姆的经验可以用来打大魔王？

这就要说线性模型接下来的优点了：

第四，线性模型在局部可以逼近非线性模型。我们研究线性模型的性质，也就掌握了非线性模型的局部的性质。特别在系统平衡位置附近，系统状态偏差不大的情况下，线性模型能够很好的描述这个系统。看上面的相图，第一幅图在原点附近放大了看，是不是和第二幅图差不多？这也就是说，带 PD 控制的跷跷板这个闭环系统，平衡位置附近行为，就和那个「真空球形跷跷板」是很像的。

以及，灰常灰常重要的，李雅普诺夫稳定性判据（第一方法）

李雅普诺夫告诉我们，如果一个非线性系统简化为「真空球形鸡」后是稳定的，那么原先的系统（在平衡位置附近）也是稳定的；如果「真空球形鸡」是不稳定的，那么原先的系统也是不稳定的。所以你们放心去做吧！（其实这么说不太严谨……哎呀学渣本来记忆就不行课本又不在手边，这个李同学的原话是啥咱就不关心了哈）

简直是拨云见日啊！仿佛眼前打开了一座辉煌殿堂的大门：数学家为我们画出了世界的地图，物理学家带我们认识世界，工程师跟在后面比着地图移山填海。

——这才是尚方宝剑。

有了这把尚方宝剑，我们才能安心在果壳里称王，却把整个世界玩转在掌心；拿着砍史莱姆的装备去挑城堡里的恶龙，还能救出美丽的公主。

运筹帷幄之中，而决胜千里之外。

最后贴一下动态过程，说明一下跷跷板状态和相图上的点是怎么对应的

参考文献：

[1] http://zh.wikiquote.org/zh/%E5%93%88%E5%A7%86%E9%9B%B7%E7%89%B9

[2] http://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E4%BD%93%E9%97%AE%E9%A2%98

[3] http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BA%9E%E5%8A%A0%E8%8E%B1%EF%BC%8D%E6%9C%AC%E8%BF%AA%E5%85%8B%E6%9D%BE%E5%AE%9A%E7%90%86